Евклид биография, вклад и работа

Вычислительный Евклид

Элементы Евклида разделены на 13 “книг”, содержащих в общей сложности 465 теорем и 131 определение.

Как известно, элементы математика Евклида представляли на протяжении веков саму модель научного и дедуктивного рассуждения, а их распространение и влияние в Европе были только в соответствии с Библией и несколькими другими писаниями церкви. Они переводились, редактировались и комментировались сотни раз, и эти издания и комментарии формировали научный инструментарий, методологические стандарты и математический язык многих веков.

Теоремы Евклида использовались для построения дальнейших и более смелых математических теорий или применялись в физических науках, в то время как структура доказательств изучалась математиками, логиками и эпистемологи как идеал самого разума. В этой связи особую историческую роль сыграли принципы, служившие основанием и фундаментом всего строительства.

Математик Евклид начал формулировать свои элементы с нескольких недоказанных предположений для того, чтобы установить великую математическую систему.  Однако в античности система принципов Евклида неоднократно обсуждалась и оспаривалась: были найдены некоторые пробелы в доказательствах и недостающие аргументы, снабженные дополнительными аксиомами.  Некоторые принципы были доказаны с помощью более простых способов или изменены, чтобы удовлетворить философские сомнения или удовлетворить архитектурные соображения.  Еще несколько были добавлены, чтобы расширить геометрические результаты за пределы границ, установленных Евклидом. Эти изменения в системе принципов, лежащих в основе элементарной математики, были одними из наиболее важных результатов фундаментальных исследований, проведенных в позднем Средневековье XIV—XV вв.

Основные вклады

элементы

Наиболее признанным вкладом Евклида была его работа под названием Элементы. В этой работе Евклид поднял важную часть математических и геометрических разработок, которые были сделаны в его время.

Теорема Евклида

Теорема Евклида демонстрирует свойства прямоугольного треугольника, рисуя линию, которая делит его на два новых прямоугольных треугольника, которые похожи друг на друга и, в свою очередь, похожи на исходный треугольник; то есть отношение пропорциональности.

Евклидова геометрия

Вклад Евклида произошел в основном в области геометрии. Разработанные им концепции доминировали в изучении геометрии в течение почти двух тысячелетий..

Трудно дать точное определение евклидовой геометрии. В общем, это относится к геометрии, которая охватывает все понятия классической геометрии, а не только разработки Евклида, хотя Евклид собрал и разработал несколько из этих концепций.

Некоторые авторы утверждают, что аспект, в котором Евклид внес больший вклад в геометрию, был его идеалом, основанным на неопровержимой логике.

Более того, учитывая ограниченность знаний своего времени, его геометрические подходы имели ряд недостатков, которые впоследствии усилили другие математики..

Демонстрация и математика

Евклид, наряду с Архимедом и Аполлином, считаются совершителями демонстрации как связанный аргумент, в котором делается вывод, оправдывая каждую ссылку.

Демонстрация является фундаментальной в математике

Считается, что Евклид разработал процессы математической демонстрации таким образом, который длится до сегодняшнего дня, и это важно в современной математике

Аксиоматические методы

В презентации геометрии, сделанной Евклидом в Элементы считается, что Евклид сформулировал первую «аксиоматизацию» очень интуитивно и неформально.

Аксиомы — это определения и основные положения, которые не требуют доказательств. То, как Евклид представил аксиомы в своей работе, позже превратилось в аксиоматический метод..

В аксиоматическом методе предлагаются определения и суждения, так что каждый новый термин может быть исключен ранее введенными терминами, включая аксиомы, чтобы избежать бесконечной регрессии..

Евклид косвенно поднял вопрос о глобальной аксиоматической перспективе, которая способствовала развитию этой фундаментальной части современной математики..

«Начала» Евклида

Главный труд Евклида – «Начала» (или «Элементы», в оригинале «Стойхейа»). «Начала» Евклида состоят из 13 книг. Позднее к ним были прибавлены еще две книги.

Первые шесть книг «Начал» посвящены геометрии на плоскости – планиметрии. В философско-теоретическом отношении, в плане философии математики особенно интересна первая книга, которая начинается с определений, постулатов и аксиом, учение о которых было заложено Аристотелем.

Евклид определяет точку как то, что не имеет частей. Линия – длина без ширины. Концы линии – точки. Прямая линия равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы поверхности – линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. И так далее. Таковы определения Евклида.

Статуя Евклида в музее Оксфордского университета

Далее следуют постулаты, т. е. то, что допускается. Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из любой точки, принятой за центр, можно всяким раствором циркуля описать круг, что все прямые углы равны между собой и что если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, будучи продолженными, эти две прямые рано или поздно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы Евклида говорят о том, что величины, равные третьей величине, равны между собой, что если к равным прибавить равные, то и целые будут равными, и т. д.

Далее, в первой же книге «Начал» Евклида, рассматриваются треугольники, параллельные линии, параллелограммы. Вторая книга «Начал» содержит геометрическую алгебру: числа и отношения чисел выражаются в пространственных величинах и в их пространственных же отношениях. Третья книга «Начал» исследует геометрию круга и окружности, четвертая – многоугольники. Пятая книга дает теорию пропорций как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. В книге VI Евклид прилагает эти теории к планиметрии. Книги VII – X содержат теорию чисел, причем X книга трактует иррациональные линии. XI, XII и XIII книги «Начал» посвящены стереометрии, при этом в XII книге применяется метод исчерпания.

В строгом смысле слова Евклида нельзя считать «отцом геометрии». Свои «Начала» были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. «Начала» были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский… Однако Евклид – не простой передатчик сделанного до него математиками. В «Началах» Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно. Математика Евклида – вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно «Начала» Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с .

Правда, существовала легенда, что сам Евклид – не единственный автор дошедших до нас «Начал», что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены вышеупомянутым Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой «Начал». Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций. «Начала» Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца XII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.

Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского – на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой «Оптикой». Однако затем последовала масса переводов и комментариев на «Начала». Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеции. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем латинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.

Эвклид Кюрдзидис: биография

Эвклид Кюрдзидис родился 22 февраля 1968 года в небольшом южном городке России с греческим населением, однако в большинстве интервью предпочитает называть своим домом город Ессентуки. Мать Эвклида Ламара Константиновна работала в кинотеатре, а отец Кириак Антонович был математиком, и именно он предложил дать сыну столь экстравагантное имя.

Актер Эвклид Кюрдзидис

Сын частенько сбегал на работу к матери, чтобы посмотреть новинки кинопроката. Уже в четыре года он точно знал, что станет артистом, хотя ещё не определился с жанром. Ему нравилось смешить людей и вызывать улыбку на их лицах, и он серьезно рассматривал вариант стать артистом цирка.

Вскоре семья Кюрдзидис переехала в Ессентуки в Ставропольский край, где юный Эвклид пошел в общеобразовательную школу. В школьную пору мальчик много читал, увлекался стихами Гумилева и Пушкина, произведениями Набокова и небольшими рассказами Гоголя. В юности он стал читать философские книги: Кастанеду, Розанова, Гурджиева и других.

Эвклид Кюрдзидис в молодости

В Ессентуках Эвклид отучился восемь классов, после чего решил воплотить свою мечту в жизнь и поступить в Днепропетровское театральное училище, где принимали юношей и девушек с четырнадцати лет. В училище он не только обучался актерскому искусству, но и осваивал новый для себя украинский язык. Получив образование в 1987 году, Эвклида распределили в драматический театр города Луцк.

Он успел совсем немного поиграть на сцене, прежде чем его призвали на службу в армию. Парня направили в Астрахань в роту ракетных войск, где он служил на космодроме «Капустин Яр».

После армии Эвклид решил продолжить образование, сосредоточившись на кино. Он подал документы во Всероссийский Государственный институт кинематографа на актерский факультет. Экзамены он сдал легко, однако перспективным студентом не считался, несмотря на прекрасные оценки. Педагоги не видели в нем будущей звезды российского кинематографа и прочили ему карьеру режиссера. Раз за разом Кюрдзидис старался доказать их неправоту и в итоге в 1997 году окончил институт с красным дипломом.

Актер Эвклид Кюрдзидис

Ещё будучи студентом, Эвклид часто ездил к своим родителям, которые к тому времени вернулись в Грецию. В 1996 году он получил греческое гражданство, чем невероятно гордится. Будучи уже известным российским актером, в 2010 году баллотировался на должность мэра города Салоники. Эвклид не рассчитывал на победу, его целью было поднять настроение жителям Греции, которые переживали не самые лучшие времена в связи с тяжелой экономической ситуацией в стране.

Достижения Евклида

Достижения Евклида имели огромное значение для мировой истории, математики и других наук.

Он был первым, кто:

• систематизировал известные труды предшественников в единый сборник из 13 книг;
• создал 5 постулатов НОД и 5 аксиом в области геометрии;
• охарактеризовал все известные геометрические фигуры, дал понятие кривым линиям, коническим сечениям и другим явлениям;
• создал трактат по ошибкам при изучении и создании геометрических доказательств;
• доказал практическое использовании математики при изучении звезд, небесных тел, космоса и других наук;
• изучил свет с законами его распространения;
• изучил зеркала и способности преломления в них световых лучей;
• создал простейшую теорию в области музыки;
• создал постулаты и формулы по механики и определил удельный вес тел.

Математика

Евклид — отец математики. Он сформулировал теоремы по планиметрии, упростил понимание теоремы Пифагора и теоремы о сумме углов треугольника, прописал свойства правильных многоугольников и законы построения правильных пятнадцатиугольников, указал, как применима алгебры в жизни и каковы ее основные теории, вписал теорию о целом и рациональном числе, рассмотрел квадратичную иррациональность, заложил основы стереометрической науки, доказал теоремы, касающиеся площади круга с объемом шара, вывел отношение объема пирамид с конусами, призмами и цилиндрами.

Другие науки

Помимо математики, ученый работал с оптикой, астрономией, логикой и музыкой. Так, в оптике он дал сведения об оптической перспективе, зеркальных искажениях и отражениях световых лучей в зеркале.

дальнейшее чтение

• ДеЛейси, Эстель Аллен (1963). Евклид и геометрия. Нью-Йорк: Франклин Уоттс.
• Кнорр, Уилбур Ричард (1975). Эволюция евклидовых элементов: исследование теории несоизмеримых величин и ее значение для раннегреческой геометрии. Дордрехт, Голландия: Д. Рейдел. ISBN 978-90-277-0509-9.
• Мюллер, Ян (1981). Философия математики и дедуктивная структура в элементах Евклида. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-13163-6.
• Рид, Констанс (1963). Долгий путь от Евклида. Нью-Йорк: Кроуэлл.
• Сабо, Арпад (1978). Начало греческой математики. ЯВЛЯЮСЬ. Унгар, пер. Дордрехт, Голландия: Д. Рейдел. ISBN 978-90-277-0819-9.

Евклид и античная философия[править | править код]

Йос ван Вассенхове (Юстус из Гента). Евклид, ок. . Урбино

Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (т.наз. «математические» науки) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике, Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказаельства. Согласно Аристотелю, такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должны где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля: «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

«Начала» Евклида

Ватиканский манускрипт, т.1, 38v — 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Пифагора)

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

Евклид открывает врата Сада Математики. Иллюстрация из трактата Никколо Тартальи «Новая наука»

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строятся чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

биография

Сохранилось очень мало оригинальных упоминаний Евклида, поэтому о его жизни известно очень мало. Вероятно, он родился c. 325 г. до н.э., хотя место и обстоятельства его рождения и смерти неизвестны и могут быть оценены лишь приблизительно относительно других людей, упомянутых вместе с ним. Он упоминается по имени, хотя и редко, другими греческими математиками, начиная с Архимеда (ок. 287 г. до н. Э. — ок. 212 г. до н. Э.), И обычно упоминается как «ὁ στοιχειώτη» («автор Элементов »). Немногочисленные исторические упоминания Евклида были написаны Проклом ок. 450 г. н.э., через восемь веков после жизни Евклида.

Подробная биография Евклида приводится арабскими авторами, в которых упоминается, например, родной город Тир . Эта биография считается вымышленной. Если бы он пришел из Александрии, он бы знал о Серапеум Александрии , и Александрийской библиотеки , и , возможно, работал там в свое время. Евклид прибыл в Александрию примерно через десять лет после ее основания Александром Македонским , что означает, что он прибыл ок. 322 г. до н. Э.

Прокл лишь кратко представляет Евклида в своем комментарии к элементам . Согласно Проклу, Евклид предположительно принадлежал к «убеждению» Платона и объединил элементы , опираясь на предыдущие работы Евдокса Книдского и нескольких учеников Платона (в частности, Теэтета и Филиппа из Опуса ). Прокл считает, что Евклид не так уж и велик. моложе этих, и что он, должно быть, жил во времена Птолемея I (ок. 367 г. до н.э. — 282 г. до н.э.), потому что он был упомянут Архимедом. Хотя очевидное цитирование Евклида Архимедом было сочтено интерполяцией более поздних редакторов его работ, все еще считается, что Евклид написал свои произведения до того, как Архимед написал свои. Позже Прокл пересказывает историю о том, что, когда Птолемей I спросил, существует ли более короткий путь к изучению геометрии, чем « Элементы Евклида» , «Евклид ответил, что к геометрии нет королевской дороги». Этот анекдот вызывает сомнения, поскольку он похож на историю, рассказанную о Менахме и Александре Великом.

Euclidis quae supersunt omnia (1704 г.)

Евклид умер c. 270 г. до н.э., предположительно в Александрии. В единственном другом ключевом упоминании Евклида Папп Александрийский (ок. 320 г. н.э.) кратко упомянул, что Аполлоний «провел очень долгое время с учениками Евклида в Александрии, и именно таким образом он приобрел такую ​​научную привычку мыслить». c. 247–222 гг. До н. Э.

Поскольку отсутствие биографической информации является необычным для того периода (обширные биографии доступны для наиболее значительных греческих математиков за несколько веков до и после Евклида), некоторые исследователи предположили, что Евклид не был историческим персонажем и что его работы были написаны командой математиков, которые взяли имя Евклид от Евклида из Мегары (а-ля Бурбаки ). Однако эта гипотеза не очень хорошо принимается учеными, и существует мало свидетельств в ее пользу.

Другие сочинения

Евклидов корпус состоит из двух групп: элементарной геометрии и общей математики. Хотя многие средневековые труды Евклида были переведены на арабский язык, произведения обеих групп исчезли. В первой группе сохранились «Данные» (от первого греческого слова в книге: dedomena — «дано»), разнородная коллекция из 94 расширенных геометрических предложений, которые принимают следующую форму: задан некоторый элемент или свойство, затем другие элементы или свойства также «даны», то есть они могут быть определены. Некоторые из предложений можно рассматривать как упражнения по геометрии, чтобы определить, можно ли построить фигуру евклидовыми средствами.

Четыре утраченные работы по геометрии описаны в греческих источниках и приписаны Евклиду. По словам Прокла, цель «Псевдологии» («Заблуждения») состояла в том, чтобы отличить и предупредить новичков от различных типов заблуждений, которым они могут быть подвержены геометрическими рассуждениями. По словам Паппуса, «Поризмы» («следствия») в трех книгах содержали 171 предложение. Мишель Каслес (1793–1880) предположил, что в работе содержатся положения, принадлежащие современной теории трансверсалей и проективной геометрии.

Среди сохранившихся работ Евклида — «Оптика», первый греческий трактат о перспективе, и «Феномен» — введение в математическую астрономию. Эти работы являются частью корпуса, известного как «Маленькая астрономия», который также включает в себя «Подвижную сферу» Автолика Питана.

Два трактата о музыке, «Подразделение шкал» (в основном пифагорейская теория музыки) и «Введение в гармонию», когда-то ошибочно считались «Элементами музыки» — утраченной работой, приписанной Проклом Евклиду.

Различные вариации

Кольцо является алгебраическим выражением или структурой, в которой применяются операции сложения (обратимого) и умножения эквивалентные соответствующим действиям над некоторыми числами. Примером считается обобщенные множества целых, дробных и комплексных чисел. Более сложный пример — различные функции с элементами кольца. Если к данному множеству применима лема Евклида, то его называют Евклидовым кольцом. К ним относятся кольца целых чисел и многочленов.

Для многочлена вида Z от одной неизвестной g над некоторым полем (функцией) Z определена операция деления. Последняя выполняется только с остатком. Если применить к нему правило Евклида, то получится последовательность остатков в виде полиномов. Для примера следует разобрать такую задачу: пусть cont (w) является НОД для коэффициентов f (w) из полинома Z. При делении f (w) на cont (w) образуется примитивная часть многочлена primpart (f (w)). Необходимо найти НОД Р1 (g) и Р2 (g). Если числа являются целыми, то в этом случае верны такие тождества:

1. сont (НОД {Р1 (g), Р2 (g)}) = НОД{сont (Р1 (g)), сont (Р2 (g))}.
2. primpart (НОД {Р1 (g), Р2 (g)}) = НОД{primpart (Р1 (g)), primpart (Р2 (g))}.

Следовательно, поиск НОД для двух многочленов нужно свести к поиску НОД примитивных полиномов. Для примитивных полиномов Р1 (g) и Р2 (g), принадлежащих Z, выполняется такое соотношение между их степенями: deg (Р1 (g)) = m и deg (Р2 (g)) = n (m > n). Деление с остатком осуществляется по псевдоделимости, поскольку иногда выполнить первую процедуру невозможно.

В результате этого вводят специальный алгоритм для псевдоделения, результатом которого является псевдоостаток. Его обозначают «prem». Формула операции псевдоделения имеет такой вид с учетом псевдочастного Q (g) и псевдоостатка R (g): * P1 (g) = P2 (g) * Q (g) + R2 (g) при deg (R (g)) < deg (P2 (g)). Следовательно, P1 (g) и P2 (g) принадлежат Z при условии, что deg (P1) = n1 >= deg (P2) = n2. На основании полученных результатов лема Евклида состоит из таких пунктов:

1. Найти НОД: НОД{сont (Р1 (g)), сont (Р2 (g))}.
2. Расчет примитивных частей: ‘ = primpart (P1 (g)) и ‘ = primpart (P2 (g)).
3. Последовательность псевдоостатков полиномного типа: ‘, ‘, ‘ = prem (‘, ‘), ‘ = prem (‘, ‘),…, ‘ = prem (‘, ‘).
4. Возвратить результат: если deg (Pn (g)) = 0, то вернуть НОД{сont (Р1 (g)), сont (Р2 (g))}. Иначе — выражение в первом пункте нужно умножить на primpart (Pn (g)).

Постулаты Евклида

Его главная книга «Элементы» (первоначально написанная на древнегреческом языке) стала базовой работой важных математических учений. Она разделена на 13 отдельных книг.

• Книги от первой до шестой посвящены геометрии плоскости.
• Книги семь-девять имеют дело с теорией чисел
• Книга восьмая о геометрической прогрессии
• Книга десятая посвящена иррациональным числам
• Книги одиннадцать-тринадцать представляют собой трехмерную геометрию (стереометрию).

Гений Евклида состоял в том, чтобы взять в оборот множество разнообразных элементов математических идей и объединить их в один логический, последовательный формат.

Лемма Евклида, которая утверждает, что фундаментальное свойство простых чисел состоит в том, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить по крайней мере одно из этих чисел.

Что такое «евклидова геометрия»?

Свои знания в планиметрии и стереометрии гениальный мыслитель формулировал в виде аксиом и постулатов. Система аксиом касалась четырёх понятий: точки, прямой, плоскости, движения, а также взаимоотношения этих понятий между собой.

Для построения конкретных фигур на плоскости или в пространстве он разработал систему постулатов, предписывающих конкретные действия. Подобная система аксиом и постулатов в современности получила название «евклидова геометрия».

биография

Нет прямого источника о жизни Евклида: у нас нет ни письма, ни автобиографических указаний (даже в виде предисловия к произведению), ни официальных документов, ни даже намеков кого-либо из его современников. Как резюмирует историк математики Питер Шрайбер, «о жизни Евклида не известно ни одного достоверного факта».

Написание старейшего известно о жизни появляется Евклид в сводке по истории геометрии , написанного V — го  века нашей эры философа неоплатоник Прокл , комментатор первой книги элементов . Сам Прокл не дает никаких указаний. Он только говорит, что «объединив свои Элементы , скоординировал многие из них и вызвал в неопровержимых демонстрациях те, которые его предшественники демонстрировали в небрежной манере. Этот человек также жил при первом Птолемее, потому что Архимед упоминает Евклида. Таким образом, Евклид старше учеников Платона , но старше Архимеда и Эратосфена  »

Принимая во внимание временную шкалу, данную Проклом, Евклид, Платон и Архимед, жившие между современниками Птолемея I er , следовательно, жили около 300 г. до н

Ж.-К.

Ни один документ не противоречит этим нескольким предложениям или не подтверждает их. Прямое упоминание Евклида в произведениях Архимеда происходит из отрывка, который считается сомнительным. Архимед также обратиться к некоторым результатам Стихии и ostrakon , найденный на острове Элефантина и датированных III — го  века до н.э., обсуждает цифры изученные в тринадцатой книге элементов , а десятиугольника и икосаэдра , но не воспроизводят евклидовы произнесение точно; поэтому они могли происходить из источников до Евклида. Ориентировочная дата 300 г. до н.э. Однако считается, что AD совместим с анализом содержания евклидовой работы и принят историками математики.

Кроме того, намек математиком IV — го  века нашей эры, Папп Александрийский , свидетельствует о том , что ученики Евклида преподавал в Александрии . На этом основании некоторые авторы связывают Евклида с Мусионом Александрийским , но, опять же, он не упоминается ни в одном соответствующем официальном документе. Квалификатор, часто связанный с Евклидом в древности, — это просто stoichéiôtês (на древнегреческом  : στοιχειωτής ), то есть «автор Элементов».

Портрет Евклида работы Жюста де Гана, написанный около 1474 года; геодезист ошибочно отождествлен с Евклидом из Мегары из- за распространенной в то время путаницы между последним и автором .

Про Евклида ходят несколько анекдотов, но, поскольку они появляются и для других математиков, они не считаются реалистичными: это, таким образом, один из знаменитых анекдотов Прокла, согласно которому Евклид ответил бы Птолемею — который хотел более легкого пути, чем элементы  — что там не было ни царская дорога в геометрии; вариант того же анекдота на самом деле приписывают Менехму и Александру Великому . Точно так же, начиная с поздней античности , различные подробности были добавлены к рассказам о жизни Евклида без новых источников и часто противоречивым образом. Таким образом, некоторые авторы рождают Евклида в Тире , другие — в Геле , ему приписывают различные генеалогии , конкретных мастеров, разные даты рождения и смерти, независимо от того, соблюдают ли правила жанра или одобряют определенные интерпретации. Таким образом, в средние века и в начале Возрождения математика Евклида часто путали с современным философом Платона Евклидом Мегарским .

Столкнувшись с этими противоречиями и отсутствием надежных источников, историк математики Жан Итар даже предположил в 1961 году, что Евклид как личность, возможно, не существовал, и что это имя могло обозначать «собирательное название« математической школы », либо настоящий мастер в окружении учеников или даже чисто вымышленное имя. Но эта гипотеза, похоже, не принимается.

Один из самых старых дошедших до нас фрагментов Элементов Евклида, обнаруженный в Оксиринхе , датируется периодом между 75 и 125 годами до нашей эры. Мы не более чем на один процент текста Евклида в более ранних источниках в конце IX — го  века.

Псевдо-Евклид

Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (лат. Sectio canonis). Традиция приписывать «Деление канона» Евклиду идёт ещё от Порфирия. В старинных рукописях «Гармоники» авторство приписывается Евклиду, некоему Клеониду, а также александрийскому математику Паппу. Генрих Мейбомrude (1555—1625) снабдил «Гармоническое введение» обстоятельными примечаниями, и вместе с «Делением канона» приписал их к трудам Евклида.

При последующем подробном анализе этих трактатов было определено, что первый написан в аристоксеновской традиции (например, в нём все полутоны считаются равными), а второй по стилю — явно пифагорейский (например, отрицается возможность деления тона ровно пополам). Стиль изложения «Гармонического введения» отличается догматизмом и непрерывностью, стиль «Деления канона» несколько схож с «Началами» Евклида, поскольку содержит теоремы и доказательства.

После критической публикации «Гармоники» знаменитым немецким филологом Карлом Яном (1836—1899) этот трактат стали повсеместно приписывать Клеониду и датировать II в. н.э. В русском переводе (с комментариями) его впервые издал Г. А. Иванов (Москве, 1894). «Деление канона» ныне одна часть исследователей считает аутентичным сочинением Евклида, а другая — анонимным сочинением в традициях Евклида. Последние по времени русские переводы «Деления канона» опубликованы (в версии Порфирия) В.Г.Цыпиным и (в версии Боэция) С.Н.Лебедевым. Критическое издание оригинального текста «Деления канона» выполнил в 1991 г. А.Барбера.

• Назад

• Вперёд

Добавить комментарий

Краткая биография

Биография Евклида до конца не изучена, к примеру, до сих пор неизвестен год рождения. Известно, что он появился на свет в небольшом районе Афин и был платоновским учеником.

Подъем его научной работы пришелся на правление Птолемея Первого. Некоторые сведения о его жизни можно проследить по арабским рукописям и архимедовым письмам к друзьям. Так, по ним можно определить, что Евклид был сыном греческого ученого и жил около Тира в Сирии.

С малых лет получал знания о мире от своего отца, он же привил сыну любовь к естественным наукам, а затем Евклид поступил в школу Платона, где и обучился математическим основам.

Повзрослев, его пригласили в храм Мусейон (по другим данным он был одним из его основателей), в котором собирались видные ученые с поэтами. Тут были классы для занятий. Также храм был заполнен садами с башнями астрономии, помещениями для одиноких размышлений и большой библиотекой.

В Мусейоне он смог открыть школу с лучшими математиками и монументальный труд в области математики, в котором заложил планиметрические основы со стереометрией, теорией чисел, законами алгебры, методами нахождения площадей с объемами и др.

Фрагмент папируса с текстом «Начал» Евклида

Монументальный труд — публикация «Начала». Это серия из 13 книг, представляющая собой обработанные публикации древнегреческих математиков с пятого по четвертый век до нашей эры.

Кроме «Начал», было создано еще одно сочинение — «Данные», в котором были опубликованы основы по геометрическому анализу. Кроме того, александрийский ученый создал учебник, с помощью которого в то время и сейчас изучают астрономию, перспективу, отражение в зеркале, музыкальные интервалы и решают тригонометрические задачи.

Все оставшиеся годы жизни посвятил изучению естественных наук и математических законов, отчего его называют отцом геометрии. О других аспектах его жизни неизвестно до сих пор. Умер в Александрии.

Это интересно: 231,ДУХОВНАЯ КУЛЬТУРА — разбираемся внимательно