Модели ценообразования ванильных опционов

2 самых честных брокера бинарных опционов за 2020 год:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место — лидер рейтинга! 100% надежность и честность брокера. Лучший выбор для новичков!

  • ФинМакс
    ФинМакс

    Хороший брокер с большим количеством торговых инструментов!

Модели ценообразования ванильных опционов

Т.н. «греческие буквы» (greeks) являются важными характеристиками опционного контракта. Потенциальная сфера их использования весьма широка. Интересующиеся могут обратиться, напр., к прекрасной книге Халла. Здесь же приводится лишь краткая справочная их характеристика. Математически «греки» являются производными исходной формулы для премии опциона по входящим в нее переменным. Производную можно понимать как степень чувствительности цены опциона к тем или иным параметрам.

Дельта измеряет чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива. Это, пожалуй, самый популярный «грек». Она широко используется для хеджирования (т.н. «дельта-хедж»).

Гамма показывает чувствительность дельты к изменению цены базового актива. Также применяется для хеджирования («гамма-хедж»).

Вега отражает чувствительность цены опциона к изменению волатильности. Это очень важный параметр. Напр., стоимость опционного стрэддла, чрезвычайно сильно зависит от изменения волатильности.

Тета – чувствительность цены опциона к изменению времени (приближению срока истечения контракта). Если ее значение разделить на количество дней в году, получится денежная величина в расчете на долю базового актива ежедневно теряемая опционом.

Ро выражает чувствительность цены опциона к изменению процентной ставки.

Электронная версия для Excel

Внизу статьи вы можете скачать файл в формате excel с описанными формулами.

В графу «Тип» нужно ввести тип опциона: «call» или «put». В последующих графах нужно указать числовые параметры, от которых зависят греческие буквы: процентную ставку, волатильность, цену актива, цену исполнения опциона (strike) и время до истечения контракта. Содержание графы условно обозначенной как «Отдача» (yield) будет зависеть от класса базового актива. Если это акция, по которой не ожидается выплаты дивидендов, следует поставить «0». Если же по акции/индексу ожидается некоторый поток дивидендов, его нужно указать в этой ячейке в процентном формате. Аналогичным образом сюда нужно ввести безрисковую ставку по иностранной валюте, если опцион выписывается на валюту. Если вас интересуют «греки» обычного (equity-style) опциона на фьючерсный контракт, в этой графе надо продублировать процентную ставку из графы «Ставка». Если же вы хотите узнать «греков» для futures-style опциона на фьючерс (премия по которому не перечисляется сразу продавцу, а вносится на маржинальный счет подобно обычному фьючерсному контракту – отсюда и название), введите нули в обеих ячейках – и «Ставка» и «Отдача». Именно такие (маржируемые) опционы торгуются на российской бирже РТС.

Примеры заполнения таблицы:

Лучшие русскоязычные платформы бинарных опционов:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место — лидер рейтинга! 100% надежность и честность брокера. Лучший выбор для новичков!

  • ФинМакс
    ФинМакс

    Хороший брокер с большим количеством торговых инструментов!

По умолчанию введены следующие данные: тип call, ставка 3.32%, отдача 3.32%, волатильность 37.48%, цена 100$, исполнение 100$, время 1 год. Параметры ставка-отдача-волатильность взяты для примера, они могут соответствовать типичному фьючерсному опциону на нефть (см. Нефть (CL) в разделе рынки) «у денег» (страйк равен цене). Внизу в красных графах должны стоять следующие цифры: дельта 0.5556, гамма 0.0101, вега 37.9198, тета -6.6288, ро 41.1773.

Используемые формулы (для продвинутых и любознательных)

Для тех, кому интересно, приведем используемые для расчетов формулы. Картинка кликабельна — щелкните, чтобы увеличить рисунок. Под буквой (a) указаны формулы для call, под (b) – для put, без буквенного обозначения – единые для обоих типов опционов.

Определение цен барьерных опционов с помощью сеток. Часть первая – постоянные барьеры

Written on 04 Марта 2020 .

ОГЛАВЛЕНИЕ

Это первая часть в серии из четырех статей об определении цен на экзотические опционы с помощью методов на базе сетки. В этой части будет рассмотрен очень простой пример опциона с постоянным барьером.

Введение

Стоит отметить, что представленный метод можно расширить до вмещения опционов с несколькими постоянными барьерами. После изучения простого примера перейдем к более сложным опционам с изменяющимися во времени барьерами. Статья об изменяющихся во времени барьерах будет охватывать широкий спектр возможных барьеров, в том числе (но не только) одиночные и множественные линейные, меняющиеся во времени, барьеры и экспоненциальные барьеры. В третьей части серии будет рассмотрено определение цен бермудских опционов на триномиальной сетке и представлен ряд наглядных решений задач, которые ставят бермудские опционы. Наконец, в четвертой части серии, будет рассмотрен совершенно другой метод: модель адаптивной сетки (AMM). Этот метод является альтернативой изучаемому в частях 1-3. Данная серия дает представление о неизбежных трудностях расчета цен опционов и делает всеобщим достоянием некоторый код определения цен опционов. Для начала, данная статья будет посвящена одиночному барьеру, но в случае интереса в нее будут включены различные постоянные барьеры (т.е. активация, деактивация).

Справка

Аналитические формулы ценообразования опционов типа Блэк-Шольца пользуются большим вниманием в литературе по ценообразованию на рынке ценных бумаг. Однако на практике методы ценообразования на базе сетки остаются излюбленным методом определения цен экзотических опционов типа барьерных и бермудских опционов. Но если бы история остановилась там, не пришлось бы писать эту серию статей. Известно, что для таких сложных типов опционов стандартные методы сетки с трудом вырабатывают приближенные значения цен; особенно когда начальная базовая цена близка к барьеру. В ряде случаев эти численные методы терпят полную неудачу, и не удается вычислить цену опциона. Для борьбы с этой проблемой был разработан ряд специальных методов сетки для определения цен барьерных опционов. Однако множественные, нелинейные и дискретные барьеры уничтожают некоторые из этих методов. Крайне необходим универсальный многоцелевой алгоритм.

Представленный в данной статье алгоритм разработан именно с этим расчетом. Он основан на очень общем (но простом) методе, не только позволяющем изучить ценообразование, когда базовая цена как угодно близка к барьеру, но и вырабатывающем точные приближенные значения цен для всех типов барьерных опционов, включая бермудские. Приложенный к статье код служит строго для колл-опционов с нижней границей. Код для более сложных опционов будет рассмотрен в дальнейших статьях серии. Для простоты рассматривается биномиальная сетка; однако расширить метод до триномиального дерева достаточно просто. Предоставленный код реализован для триномиальной сетки. Наконец, по требованию может быть добавлен дополнительный код для опционов активации и деактивации с постоянными барьерами.

Задача

Барьерный опцион является зависящим от пути опционом. Его выигрыш определяется тем, достигает ли цена базового актива некоторого заранее установленного уровня цены, согласованного в момент контрактной покупки. В случае барьерного опциона с нижней границей выигрыш опциона установлен в ноль, когда базовая цена падает ниже барьера. Цену этого типа опциона можно определить с помощью того же метода триномиального дерева, применяемого для определения цен ванильных опционов; но без некоторого изменения триномиальное дерево будет сходиться с крайне низкой скоростью к «истинной» цене опциона. Одно возможное решение – передвинуть узлы сетки для увеличения сходимости, но это становится трудным (если не невозможным) для кривых барьеров. Более простой и понятный метод предусматривает корректировку вероятностей сетки с надлежащей поправкой. Базовый принцип использовался ранее для повышения скоростей сходимости алгоритмов ценообразования опционов Монте-Карло.

Рисунок 1. Конфигурация сетки для барьерного опциона с постоянным барьером L

Рисунок 1 показывает конструкцию трехпериодной биномиальной сетки с постоянным барьером, L. Из-за дискретизированного пути, по которому меняется цена актива, базовая цена актива может нарушить барьер опциона без обнаружения этого моделированием методом Монте-Карло. Один способ смягчить эту проблему – использовать верхнюю границу броуновского моста для расчета вероятности того, что базовая цена актива дойдет до барьера для любого данного шага моделирования. Однако этот метод не лишен недостатков. Его нельзя эффективно использовать для определения цен опционов с множественным барьером и с меняющимся во времени барьером без серии приближений для вероятности выхода броуновского моста. Применение этих поправок вероятности к вероятностям сетки триномиального дерева позволяет определять цены опционов с одиночными и множественными постоянными барьерами на триномиальной сетке. Недавние разработки в литературе о ценообразовании дают источник для этих приближений вероятности выхода. Теперь эти приближения применяются к практической задаче ценообразования.

Поправка

В качестве вводного примера рассмотрено трехпериодное биномиальное дерево базового актива для колл-опциона с нижней границей, показанное на рисунке 1. На рисунке L является (нижним) барьером опциона, а индексированные значения S являются ценами узла для разных периодов времени, индексированных разделением по времени:

T – зрелость опциона, а n – число делений дерева. Чтобы определить цену опциона, строятся биномиальные деревья для базового актива и опциона обычным образом, с одним отличием: изменяется вероятность перехода биномиального дерева, если обнаруживается потенциальное пересечение барьера между узлами в текущий период времени и следующий период времени. На рисунке 1 такая ситуация могла бы возникнуть при переходе от S(T0) к S(T0+d). Надо скорректировать связанную вероятность перехода. Для осуществления корректировки вероятность перехода умножается на соответствующую вероятность выхода; в данном случае, при условии [1] для колла с нижней границей:

Следовательно, при такой корректировке вероятности скорректированная по вероятности цена опциона записывается так:

где CDAO – цена колл-опциона с нижней границей, а C(ST0+dt) – цена колл-опциона в узле S(T0+dt). Корректировка вероятности эквивалентна превращению биномиального дерева в триномиальное дерево вблизи барьера. Третья ветвь отражает вероятность, что барьер достигнут в промежуточный момент. Тогда опцион отменяется. Следовательно, третья ветвь не вносит вклад в стоимость опциона и может быть пропущена. Такой проход в цикле по сетке позволяет выработать приближение для «истинной» цены опциона.

Модели ценообразования опционов

Модели ценообразования опционов – это модели, объясняющие случайный порядок формирования стоимости опциона. Трейдеры и инвесторы активно используют такие модели для расчета потенциальной прибыли от сделки с опционом.

Эффективных моделей ценообразования опционов не существовало вплоть до 1973 года, когда появилась CAPM – модель ценообразования долгосрочных активов. Проблема этой модели заключалась в ее узком применении – она позволяла оценивать только рискованные активы. На настоящий момент существует большое количество более универсальных моделей, среди которых выделяются следующие:

Модель Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза считается наиболее распространенной моделью ценообразования опционов – гипотеза авторов заключается в том, что если базисный актив торгуется на рынке, то и цена самого опциона на базисный актив диктуется рынком. Такая модель применима для оценки не только опционов, но и производных бумаг (например, варрантов) и собственного капитала фирмы.

Блэк и Шоулз считали, что основным фактором ценообразования выступает будущая волатильность базиса опциона. Цена на опцион возрастает и падает прямо пропорционально стоимости базисного актива. Для вычисления цены опциона была создана формула, что явилось революционным шагом для 70-х годов – прежде математический подход к оценке деривативов не использовался:

С помощью такой формулы рассчитывается стоимость опциона Call. Стоит пояснить, что означают переменные в этом уравнении: S – цена базового актива, N – вероятность того, что отклонение в условиях стандартного распределения будет меньше (для расчета N можно использовать Excel – функция НОРМСТРАСП), K – цена, по которой опцион будет реализован на дату экспирации, r – безрисковая ставка, T-t – время, оставшееся до даты экспирации.

Для расчета стоимости опциона Put используется та же формула, только вычитаемое и уменьшаемое меняются местами.

Биноминальная модель

Биноминальная модель имеет в основе предположение, что цена опциона может принимать одно из двух значений: U – минимум и D — максимум. Основной формулой для расчета стоимости опциона выступает следующая:

Для расчета переменных используется ряд вспомогательных формул:

Уточним, что S0 – это стоимость базисного актива на дату приобретения опциона, следовательно, показатели d и u – это цены максимум и минимум опциона, приведенные к первоначальной стоимости базиса. Переменная E – цена, по которой опцион будет реализован в дату экспирации, t – весь период существования опциона (от покупки до экспирации) – измеряется t в годах.

Биноминальная модель позволяет произвести оценку опциона в любой момент времени до срока реализации опциона, чем и отличается от модели Блэка-Шоулза. Поэтому биноминальная модель используется для оценки американских опционов (которые инвестор может закрыть в любой момент), а модель Блэка-Шоулза – для европейских опционов.

Модель Монте-Карло

Модель Монте-Карло предполагает оценку математического ожидания выплаты по всей истории базиса. Такая модель считается одной из самых сложных и используется тогда, когда остальные модели неприменимы.

Суть модели можно объяснить на примере игрального кубика. Математическое ожидание числа очков на кубике, вычисленное способом суммирования значений, составит 3.5. Если мы бросим кубик, допустим, 1000 раз и посчитаем среднее, то получим близкое значение, например, 3.505 или 3.497. При том чем больше бросков (применяется термин «итерации»), тем выше точность. Так же и с опционами – инвестору следует сгенерировать как можно большее число итераций цен базиса и посчитать среднее. Расчет будущей цены происходит по формуле:

В этой формуле t – момент времени (например, t = 1 обозначает цену опциона через год), S0 – настоящая цена базиса,
u – ожидаемая доходность базиса, выражаемая в процентах, o – отклонение доходности (также называется волатильностью), выражаемое в процентах. N0,1 – случайная величина. Сгенерировать случайную величину можно при помощи Excel.

Модель Хестона

Модель Хестона исходит из гипотез, что распределение цен активов может отличаться от логарифмически нормального и что волатильность может быть случайной. Модель Хестона применима только для опционов европейского типа. Она представляет собой систему уравнений:

Первое уравнение является основным, а второе задает дисперсию. Параметры имеют такой смысл:

  • X – цена опциона (X0 – первоначальная цена).

– равновесное вероятное отклонение.

– скорость возвращения к равновесному отклонению.

Модель Хестона, как и модель Монте-Карло, принадлежит к числу сложных моделей – для их расчета следует применять специализированные программы, так как ручной расчет потребует много времени и знаний. Именно из-за сложности альтернатив модель Блэка-Шоулза пользуется такой популярностью.

Лучшие сайты для торговли бинарными опционами в плюс:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место — лидер рейтинга! 100% надежность и честность брокера. Лучший выбор для новичков!

  • ФинМакс
    ФинМакс

    Хороший брокер с большим количеством торговых инструментов!

Добавить комментарий